编者按：新加坡的数学教育在世界范围内享有盛誉，网上评论说“新加坡数学居然排名全球第一”，全世界已经有40个国家和地区引用新加坡教材。今天，STEAM在线邀请到航空工业工程师尚祖铭老师，为大家分析下新加坡数学教育究竟好在哪里？

航空工业工程师尚祖铭老师

数学教育的悲歌：只教育是什么，不去教学生思考为什么？

当代的教育制度继承自工业革命时期，目的是为了培养工业需要的一致性劳动力，标准化教学恰好可以在短时间内快速解决没有人才的现象，这对生产力的提高是有好处的。

但在人工智能时代，通过“标准化”出品的大学生已经呈现供大于求的局面。在社会发展的惯性下，大部分教育还停留在工业革命思想阶段，数学教育尤为严重。

数学本该是供人无限想像空间的学科，但为了成绩单，不出错、对分数镏铢必较，有太多的学生用背诵的方式学数学，靠着不断解练习题来磨练自己动笔的速度，但从来没有体会过数学的乐趣，甚至连想都没想过数学会是有趣的。

数学本是前人在探索诸多“为什么”这样的过程后，总结出“是什么” 这是智慧结晶的过程。而当代的教育，受工业化思想影响，为了追求“效率”，只告诉你很多“是什么”，并训练记住大量“是什么”。学生在学校里怀揣了很多过时的“是什么”，却要求他们在社会上探索未知的“为什么”。

数学的意义

为了应对以上尴尬的局面，当代的数学大师在这方面的洞见还是比较一致的。

”简单讲，好的数学应该是美的，严肃的。这样美好的东西会激发人去进行深入的探索。”

类似的观点可以参考英国数学家哈代的《一个数学家的辩白》，德国数学家以及数学教育家克莱因的《高观点下的初等数学》以及美国当代数学家柯朗《什么是数学》。

虽然理想很好，但如何与现实进行调和？

以上，各个数学家，以及数学方面的教育家都给出了一些原则性的建议，在西方的数学教育学界也有很多人从实践角度，探讨如何将这种教会孩子探索“为什么”，这种充满灵性的数学教育的思想进行落地。

在这方面，保罗·拉克哈特 博士，英国数学教育家茱莉娅.安吉莱瑞给出了一些实施层面更细致的指导意见，以及其他一些数学教育的实践者给出的相应的实施措施。虽然具体细节有些不同，但大致实施方案是，除了传授底层的数学知识，在高层还应该培养孩子“数感”。大致来讲“数感”由以下几个意思。

1、 用已知的知识，解决未知问题——具备举一反三能力

2、 面对未知问题可以从多角度去探索解决问题的方式

3、 面对未知问题有一个比较合理和科学的方法和思维去探索问题

基于数学建模思想的新加坡数学教育

根据以上指导层面，和实施层面的数学教育思想，融合了数学建模思想的新加坡数学教育在这方面做得还是不错的。从声誉上加网上评论“新加坡数学居然排名全球第一”，全世界已经有40个国家和地区引用新加坡教材。目前美国的奥数教材就是采用的新加坡奥数教材。我开始关注并研究新加坡的数学教育，对他们奥数教材和数学建模教育进行分析。我总结新加坡的教育有以下几个特点：

1）关注于注重思维培养：

新加坡教材特别注重数学建模方面。通过孩子列表，画图等手段，让思维进行显示化。例如：下面一道题，第一步先理解题意，第二部，将数字分解，第三部，找到合适的答案，第四部，验证答案。通过，这样四步轻松的解题，并很容易理解，并实现举一反三过程。

2）内容上进行精简，并且循序渐进

美国引用的新加坡奥数教材从7岁覆盖到13岁，从目录中可以看出，新加坡的教材对于一个概念会在不同年龄段出现（同一颜色表示同一概念），而且是循序渐进的深入。这样从整套教材角度来说，实际涉及的概念不是很多。

图 1 新加坡奥数教材部分目录

相反，我国的奥数教材，将概念进行细分。例如：一套国内反响较好的《奥数教程》，同样将目录进行分析，会觉得涉及了特别的概念。在我面临的孩子中，有一部分好像先思考问题属于哪类？在思考有哪些公式支持这个问题的求解。对比国内外的奥数教材，我认为新加坡教材的内容已经算精简了，并且更加关注解决方法和思维的训练。

图 2 奥数教程部分目录

3）数学建模教育思路是首先视觉化

以我国《奥数教材-五年级》第9讲的鸡兔同笼为例：我国的教材电子版截图中可以看出，书中直接给出了解题的关系式，把解题的套路直接给出，虽然在的分析中，采用了假设法，但也是“标准”化的解题方法：

图 3 5年级《奥数教程》的截图

同样的内容，在新加坡的教材中1~3级的教材中都出现。在最初级的教材中，首先面对的是鸡兔数量在10以内。同样的假设法，采用画图的方式，大大增加了孩子的乐趣。在后面的例题中，除了鸡兔为背景外，还有卡车（6个轮子）和小轿车（4个轮子），蜘蛛（8条腿）和害虫（6条腿）。对于低年级的孩子，在这个过程中充分的享受数学和画图的快乐。这也是数学建模的乐趣。孩子一直希望我多出以下题目，他们可以画一些其他的东西。

图 4 新加坡奥数1级教材的截图

4）利用采用表格的方法，建立数感

当数量很多时，画图就带来了困难，新加坡的教材给出了第二个解题方法：列表法。在这个过程中，第一步：先假设鸡和兔子数量各一半，第二步：在该条件下计算腿的总数，并与题目中总数进行对比。上图中，第一步假设鸡和兔子的数量都是2，腿的总数为12，12>10，说明兔子的数量多了，然后对数量进行调整后，进行次假设，假设鸡的数量为3，兔子数量为1，这样就找到了正确的答案。以上两种解题方法，都显得“笨拙”与不“标准”，在第二年的教材中，对于该问题的解法进行了递进，逐步引用了《奥数教程》中的解题方法。

5）数学建模方法虽然笨拙，但是举一反三的效果还是比较明显

遵循着循序渐进的原则，我也没有给孩子讲更抽象的解题方法，而是鼓励他们用假设列表的方法去发现问题的答案。回家后，我选择两道相对复杂的问题，看看孩子能否将学到的建模方法应用实际数学问题中，题目如下：

松鼠妈妈采松子，晴天每天可采16个，雨天每天可采11个，一连采了若干天，有晴天，也有雨天，其中雨天比晴天多3天，但采的个数却比晴天采的个数少27个，问一共采了多少天？

开始孩子在读题时候，对题目理解有些偏差。但是在孩子能够正确理解题目表达的意思后，通过列表的方法可以较轻松的解决问题。

数学建模方法给的惊喜和乐趣

在孩子掌握了上面的数学建模方法后，我们一起做了第二道题。题目如下：

某次数学测验共20道题（满分为100分），做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分，小华得了76分，问小华做对了几道题？

根据以往的惯例，孩子第一步开始思考如何将20道题分成三份，最后她通过3的九九表的发现21与20最近，然后将答对的题，与错的题和不得分的题数量假设为：7,7,6。

当第一次列表时候，她发现答对了7道题得了35分，打错了需要扣7分，总得分才为28分远远低于76分。她说“不对劲，小华起码答对题的分数要超过76分，这样才够扣分的”。

于是她开始调整答对题的数量，最后通过不断的尝试后，调整到了16道答对。这样对题获得分数为80分，然后她研究错题的数量，最后得到答案，对题16道，错题4道，不做的题0道。在找到答案后，孩子表现出喜悦，不断跟她妈妈说她探索的过程。

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