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看过这篇新加坡建模法难点分析,从今天开始对数学说“so easy!”

1983年新加坡首次引入建模理论,2006年“应用与建模”被列入新加坡中小学数学教学大纲。因为近几年新加坡数学教育在TIMSS和PISA的优秀表现,建模法备受国内外教育界的广泛关注。这一段时间,我们详细讲解了建模法的知识,不知道大家理解的怎么样?本质上说,用图形法解题能让孩子们更直观地找到不同变量之间的数学关系。操作上也简单实用,很容易上手。这里,我们进一步和大家分析,在使用模型法时,应该注意到的几个难点:

1,画精确的模型图

在用模型法解答数学应用题时,难点在于画出一个精确的数学模型。这里的精确不是指严格的比例缩放,而是孩子们画出的模型图应该足够好,能帮助他们推断出已知量和未知量之间有用的数量关系。可以这样说,如果孩子们能画出一个比较精确的模型,说明他们已经理解了这个问题。

例1:A的年龄是B年龄的1/4。5年后,A的年龄是B年龄的1/3。请问,A现在多大?

解答:首先以A的年龄长度(A的箱子)为基准,分别画出现在五年后,A和B两人的年龄比例关系:

现在:

五年后:

然后,对B的模型重新排列:

利用现在的模型,我们在B模型基础上加5,得到B五年后的另外一个模型表示:

通过比较B的两个模型,我们知道:

所以A的年龄是10岁。

需要注意到的是,两个五年后B的模型长度是不一样的,尽管实际上它们是一样的值。

类似这种情况,我们在画模型比较的过程中会经常遇到。因为用于表示A箱子的初始长度和表示年龄“5”的箱子长度关系未知,从图中看出,我们要加长箱子的长度(等于10年的长度),这样B的两个模型长度就会一致。因此,在稿纸上的思考过程完成后,我们需要对模型做一定的改进。

例2:Devi和Minah总共有520元。如果Devi花掉她钱的2/5,Minah花掉40元,他们将剩一样多的钱。请问,Devi有多少钱?

解析:根据已知条件画模型图

把Minah的模型也分成3份,

8个箱子 —–> 520 – 40 = 480

1个箱子 —–> 480 ÷ 8 = 60

Devi的钱 —–> 5 × 60 =300

在模型中,我们一开始假设一个单元(箱子)的长度比表示“40元”的箱子长度短,但计算得到一个箱子表示60元,所以,我们要把表示40的箱子缩短。

例3:A,B,C,D四个人每个月挣得钱一样多。A花的钱是B花的钱的3倍,B存的钱是A存的钱的2倍。D花的钱是C花的钱的2倍,D存的钱是C存的3倍。找到B存的钱和D存的钱的比例关系。首先,画出A和B的关系(深色表示花钱,白色表示存钱)

可以进一步对A和B的关系做一个分割

然后,画出C和D的模型关系

进一步对C和D的模型做分割

因为,A,B,C,D四个人每个月挣的钱一样,而且,从分析中看到,他们的钱都是可以平均分成5份的,所以,A,B,C,D模型中最小的箱子是应该一样长的,联合可以得到下面的模型

所以,B和D的存钱比例关系是 4 :1

总结:在指导孩子们的时候,需要让他们知道,绘制一个更加精确的模型通常是一个复杂的过程;在一个有用的模型完成之前,可能需要在稿纸上多次绘制,来细化和纠正。

2,模型图的分割

在遇到数学应用题,尤其是比例问题,需要把箱子划分成更小的单元时,孩子们往往束手无策。模型图的分割是另外一个难点,我们来看两个例题。

例4:Sam和Jane有邮票的数量比例是7:8。Jane给了Sam 200张邮票之后,他们邮票的比例变成了11:4。请问,两人一共有多少张邮票?

首先,我们看到题目中的7:8和11:4,两个人邮票的总和在变化前后是恒定不变的(恒定总量问题),变化前后都是分成15等分,因此变化前后的最小单元(箱子)是一样长的。模型如下:

4个箱子 —–> 200张

1个箱子 —–> 50张

总共15个箱子 —–> 15× 50 = 750 张。

我们鼓励孩子们对框图做具体分割来推导变量之间的数量关系,这样做往往立马能够得到答案。当要分割太多份时,我们也应该帮助他们慢慢脱离依赖一个大数值的分割,因为过分强调把一个框图分割成很多部分,常常会让我们的思考过程短路。要从一个模型的各个部分提取出更深层次的关系,我们的思考过程是至关重要的。

有一种方法可以帮助孩子们减少对具体分割的依赖性,那就是在我们设置的问题中使用相对较大的数字,把方框图具体分割变得难以操作。当不做具体分割时,我们怎么解答题目呢?用下面这个例题我们仔细体会一下。

例5:有两包糖A和B。A和B的质量比是4:1。如果从A中拿10g放入B,A和B的质量比变成了7:5。请问,两包糖总共多重?

解析:变化前后,A和B的总质量一定,变化前总共分成了5份,变化后总共分成了12份。最小份数要取12和5的最小公倍数60。所以,

变化前:A和B的比例可以写成48:12

变化后:A和B的比例可以写成35:25

A的份数减少了13,而由已知A少了10g

因此,

13个单元 —-> 10 g,

1个单元 —-> 10/13 g,

两包糖总共60个单元 —-> 600/13 g。3,重视一题多解在数学学习过程中,一定要培养孩子们养成多思考、勤动手的好习惯。在分析一道题目时,家长要引导他们多想想是否有更好的解题方法,并让他们对不同的方法亲自动手体会优缺点,这样做能让孩子的数学思维更加敏锐,也能增加他们对数学的兴趣。
我们一起来看看这道年龄问题:例6:两年前,他的年龄是他儿子的7倍;三年后,他的年龄是他儿子的4倍。请问,现在他俩的年龄分别多大?

解法1:

两年前:

3年后:

对(2)重新排列,并且和(1)比较:

因此,

1个单元 —–> 5岁,

儿子年龄—–> 5 + 2 = 7岁,

父亲年龄—–> 5 × 7 + 2 = 37岁。

解法2:

解析:运用前面讲过的“恒定差值”问题解法。

2年前:

三年后:

6个单元等于3个单元加15岁

3个单元 —–> 15岁,

1个单元 —–> 5岁,

儿子年龄 —–> 5 + 2 = 7岁,

父亲年龄 —–> 5 × 7 + 2 = 37岁。

解法3:

2年前:

3年后:

从差值来看,1个灰色的箱子等于2个白色的箱子,

1个灰色的箱子 = 1个白色箱子 + 5岁。

所以,1个白色箱子表示5岁。

至此,建模法基本讲解完毕。如果大家还有不明白的地方和数学问题,可以后台联系作者。之后,我们会推出“珠心算”系列的内容分享,敬请期待。