1983年新加坡首次引入建模理论，2006年“应用与建模”被列入新加坡中小学数学教学大纲。因为近几年新加坡数学教育在TIMSS和PISA的优秀表现，建模法备受国内外教育界的广泛关注。这一段时间，我们详细讲解了建模法的知识，不知道大家理解的怎么样？本质上说，用图形法解题能让孩子们更直观地找到不同变量之间的数学关系。操作上也简单实用，很容易上手。这里，我们进一步和大家分析，在使用模型法时，应该注意到的几个难点：

1，画精确的模型图

在用模型法解答数学应用题时，难点在于画出一个精确的数学模型。这里的精确不是指严格的比例缩放，而是孩子们画出的模型图应该足够好，能帮助他们推断出已知量和未知量之间有用的数量关系。可以这样说，如果孩子们能画出一个比较精确的模型，说明他们已经理解了这个问题。

例1：A的年龄是B年龄的1/4。5年后，A的年龄是B年龄的1/3。请问，A现在多大？

解答：首先以A的年龄长度（A的箱子）为基准，分别画出现在和五年后，A和B两人的年龄比例关系：

现在：

五年后：

然后，对B的模型重新排列：

利用现在的模型，我们在B模型基础上加5，得到B五年后的另外一个模型表示：

通过比较B的两个模型，我们知道：

所以A的年龄是10岁。

需要注意到的是，两个五年后B的模型长度是不一样的，尽管实际上它们是一样的值。

类似这种情况，我们在画模型比较的过程中会经常遇到。因为用于表示A箱子的初始长度和表示年龄“5”的箱子长度关系未知，从图中看出，我们要加长箱子的长度（等于10年的长度），这样B的两个模型长度就会一致。因此，在稿纸上的思考过程完成后，我们需要对模型做一定的改进。

例2：Devi和Minah总共有520元。如果Devi花掉她钱的2/5，Minah花掉40元，他们将剩一样多的钱。请问，Devi有多少钱？

解析：根据已知条件画模型图

把Minah的模型也分成3份，

8个箱子 —–> 520 – 40 = 480

1个箱子 —–> 480 ÷ 8 = 60

Devi的钱 —–> 5 × 60 =300

在模型中，我们一开始假设一个单元（箱子）的长度比表示“40元”的箱子长度短，但计算得到一个箱子表示60元，所以，我们要把表示40的箱子缩短。

例3：A，B，C，D四个人每个月挣得钱一样多。A花的钱是B花的钱的3倍，B存的钱是A存的钱的2倍。D花的钱是C花的钱的2倍，D存的钱是C存的3倍。找到B存的钱和D存的钱的比例关系。首先，画出A和B的关系（深色表示花钱，白色表示存钱）

可以进一步对A和B的关系做一个分割

然后，画出C和D的模型关系

进一步对C和D的模型做分割

因为，A，B，C，D四个人每个月挣的钱一样，而且，从分析中看到，他们的钱都是可以平均分成5份的，所以，A，B，C，D模型中最小的箱子是应该一样长的，联合可以得到下面的模型

所以，B和D的存钱比例关系是 4 ：1

总结：在指导孩子们的时候，需要让他们知道，绘制一个更加精确的模型通常是一个复杂的过程；在一个有用的模型完成之前，可能需要在稿纸上多次绘制，来细化和纠正。

2，模型图的分割

在遇到数学应用题，尤其是比例问题，需要把箱子划分成更小的单元时，孩子们往往束手无策。模型图的分割是另外一个难点，我们来看两个例题。

例4：Sam和Jane有邮票的数量比例是7：8。Jane给了Sam 200张邮票之后，他们邮票的比例变成了11：4。请问，两人一共有多少张邮票？

首先，我们看到题目中的7：8和11：4，两个人邮票的总和在变化前后是恒定不变的（恒定总量问题），变化前后都是分成15等分，因此变化前后的最小单元（箱子）是一样长的。模型如下：

4个箱子 —–> 200张

1个箱子 —–> 50张

总共15个箱子 —–> 15× 50 = 750 张。

我们鼓励孩子们对框图做具体分割来推导变量之间的数量关系，这样做往往立马能够得到答案。当要分割太多份时，我们也应该帮助他们慢慢脱离依赖一个大数值的分割，因为过分强调把一个框图分割成很多部分，常常会让我们的思考过程短路。要从一个模型的各个部分提取出更深层次的关系，我们的思考过程是至关重要的。

有一种方法可以帮助孩子们减少对具体分割的依赖性，那就是在我们设置的问题中使用相对较大的数字，把方框图具体分割变得难以操作。当不做具体分割时，我们怎么解答题目呢？用下面这个例题我们仔细体会一下。

例5：有两包糖A和B。A和B的质量比是4：1。如果从A中拿10g放入B，A和B的质量比变成了7：5。请问，两包糖总共多重？

解析：变化前后，A和B的总质量一定，变化前总共分成了5份，变化后总共分成了12份。最小份数要取12和5的最小公倍数60。所以，

变化前：A和B的比例可以写成48：12

变化后：A和B的比例可以写成35：25

A的份数减少了13，而由已知A少了10g

因此，

13个单元 —-> 10 g，

1个单元 —-> 10/13 g，

两包糖总共60个单元 —-> 600/13 g。3，重视一题多解在数学学习过程中，一定要培养孩子们养成多思考、勤动手的好习惯。在分析一道题目时，家长要引导他们多想想是否有更好的解题方法，并让他们对不同的方法亲自动手体会优缺点，这样做能让孩子的数学思维更加敏锐，也能增加他们对数学的兴趣。
我们一起来看看这道年龄问题：例6：两年前，他的年龄是他儿子的7倍；三年后，他的年龄是他儿子的4倍。请问，现在他俩的年龄分别多大？

解法1：

两年前：

3年后：

对（2）重新排列，并且和（1）比较：

因此，

1个单元 —–> 5岁,

儿子年龄—–> 5 + 2 = 7岁,

父亲年龄—–> 5 × 7 + 2 = 37岁。

解法2：

解析：运用前面讲过的“恒定差值”问题解法。

2年前：

三年后：

6个单元等于3个单元加15岁

3个单元 —–> 15岁,

1个单元 —–> 5岁,

儿子年龄 —–> 5 + 2 = 7岁，

父亲年龄 —–> 5 × 7 + 2 = 37岁。

解法3：

2年前：

3年后：

从差值来看，1个灰色的箱子等于2个白色的箱子，

1个灰色的箱子 = 1个白色箱子 + 5岁。

所以，1个白色箱子表示5岁。

至此，建模法基本讲解完毕。如果大家还有不明白的地方和数学问题，可以后台联系作者。之后，我们会推出“珠心算”系列的内容分享，敬请期待。